Hybride Arbeitsprinzipien

In der Baupraxis werden einfache, aber sehr leistungsfähige finite Elemente gefordert. Sie sollen für jeden Elementtyp lediglich die für die Elementform erforderliche Anzahl von Eckknoten besitzen. In diesen sollen als Freiheitsgrade nur Verschiebungen und/oder Verdrehungen auftreten.

Neben den Forderungen hinsichtlich der exakten Darstellungen starrer Bewegungsmöglichkeiten und konstanter Dehnungszustände müssen statische Verträglichkeit im Elementinneren (Erfüllung des Gleichgewichts) und kinematische Verträglichkeit an den Elementrändern (keine Risse und keine Überlappungen zwischen angrenzenden Elementen) gesichert sein.

Es ist nicht möglich, ein finites Elemente auf Grund der Kraft- oder Verschiebungsmethode zu entwerfen, das die genannten Forderungen erfüllt. Einen Ausweg aus dieser misslichen Situation liefert die sogenannte hybride Methode.

In ihr werden Kraft- und Verschiebungsmethode zu einem kombinierten, hybriden Arbeitsprinzip verschmolzen. Nach diesem Arbeitsprinzip werden unsere finiten Elemente als hybride Spannungselemente entwickelt. Sie sind sehr leistungsfähig und erfüllen selbstverständlich obige Forderungen. Die theoretischen Grundlagen werden im Folgenden zusammengestellt.
Bei linear elastischem Materialverhalten gelten die auf Scheiben- und Plattenelemente zugeschnittenen Arbeitsprinzipien:
Bild Bild Bild (11)
Bild Bild Bild (12)
Hierin bedeuten:
Bild Vektor der inneren Schnittkräfte nach (3) bzw. (5)
Bild Vektor der Randschnittkräfte nach (7) bzw. (9)
Bild Vektor der Randverrückung nach (8) und (10)
Bild Vektor der Linienlasten auf den Randkanten
Bild Vektor der Anfangsdehnung infolge Temperaturänderung
Bild inverse Elastizitätsmatrix, G: Gleitmodul
Bild Kirchhoffsche Plattenelemente
Bild Mindlin-Reissnersche Plattenelemente
d: Elementdicke, A: Fläche, s: Randweg, Bild :Randweg mit Lasten
Die hybriden Arbeitsprinzipien (11) und (12) enthalten neben den Schnittkräften im Element nur die Verrückungen am Elementrand. Die Randverrückungen Bild bzw.Bild sowie die inneren Schnittkräfte n bei Scheiben bzw. m und q bei Platten müssen über Ansatzfunktionen dem entsprechenden Problem angepasst werden. Sowohl die inneren Schnittkräfte als auch die Verrückungen auf den Randkanten müssen festen Voraussetzungen genügen. Ein Ansatz für die inneren Schnittkräfte muss die Gleichgewichtsbedingungen (4) bzw. (6) erfüllen, und ein Verrückungsansatz entlang der Randkanten muss die Stetigkeitsbedingungen zwischen angrenzenden Elementen gewährleisten.
Für die inneren Schnittkräfte wird der Ansatz
Bild Bild Bild (13)
gewählt. Die Vektoren Bild bzw. Bild und Bild sind partikuläre Lösungen der inhomogenen Gleichgewichtsbedingungen in (4) bzw. (6) und beachten die aufgebrachten Flächenlasten Bildbzw. Bildund Bild. Die Felder Bild und Bild enthalten vollständige Polynome in den x-, y-Koordinaten mit den Freiwerten (Koeffizienten) Bild bzw. Bild Die Terme Bild bzw. Bild müssen die homogenen Gleichgewichtsbedingungen in (4) bzw. (6) erfüllen. Das in (13) genannte Feld Bild wird aus dem Feld M nach (5b) abgeleitet. Aus den inneren Schnittkräften lassen sich unter Beachtung der Orientierungen der Randkanten (Bild 5 bzw. 6) die Randschnittkräfte Bild bzw. Bild berechnen. Diese können auf die Form
Bild Bild Bild (14)
gebracht werden. Die auf den Randkanten vorliegenden, unterschiedlichen Verformungszustände werden durch Polynome ersten, zweiten und dritten Grades in der Randkoordinate s beschrieben. Die auftretenden Freiwerte werden mit Hilfe von Transformations- und Inzidenzmatrizen mit den globalen Knotenverrückungen in (1) bzw. (2) gekoppelt. Die Verläufe der lokalen Randverrückungen lassen sich in der Kurform darstellen:
Bild Bild (15)
darstellen.
Man definiert als Flexibilitätsmatrix
Bild Bild
als Koppelmatrix
Bild Bild
und als Belastungsvektoren
Bild Bild
und erhält damit aus (11) bzw. (12) die komprimierte Aussage:
Bild Bild
Aus diesen Gleichungen folgt
Bild Bild
sowie
Bild Bild
Mit der Elementsteifigkeitsmatrix
Bild Bild
und dem Vektor aus Linien-, Flächen- und Temperaturbelastungen
Bild Bild
kommt man zum Kraft-Verschiebungsgesetz
Bild Bild
auf Elementebene.
Bei den Ansätzen der Polynome für die Verrückungen und die Schnittkräfte ist einige Sorgfalt angebracht. Die im Gleichgewicht stehenden Randkräfte leisten bei Bild starren Bewegungsmöglichkeiten keine Arbeit. Deshalb muss der Rangabfall in der Elementsteifigkeitsmatrix Bild bzw. Bild genau Bild betragen. In den Ansätzen für die Schnittkräfte und die Verrückungen mit Bild bzw. Bild Freiheitsgraden muss die notwendige Bedingung
Bild Bild
sichergestellt sein, damit kein weiterer Rangabfall in der Elementsteifigkeitsmatrix auftritt. Sowohl die Scheiben- als auch die Plattenelemente besitzen
Bild
starre Bewegungsmöglichkeiten (Scheibe gemäß Bild 1: zwei Translationen in x- und y-Richtung und eine Rotation um die z-Achse; Platte gemäß Bild 2: zwei Rotationen um x- und y-Achse und eine Translation in z-Richtung). Da die für 4-Knotenelemente gültigen Ansatzfunktionen auch bei 3-Knotenelementen erlaubt sind (Eine Umkehrung dieses Satzes ist nicht zulässig.), werden in den weiteren Erläuterungen lediglich 4-Knotenelemente behandelt. Da diese
Bild
Freiheitsgrade hinsichtlich ihrer Verrückungen haben, muss für die Anzahl der Freiheitsgrade in den gewählten Ansätzen für die inneren Schnittkräfte
Bild
gelten. Diese Forderung wird mit einem quadratischen Polynomansatz erfüllt.
Bild Für die homogenen Anteile von Bild, und Bild werden jeweils vollständige quadratische Polynome nach Bild 7 angesetzt. Jeder Funktionswert wird mit einem Freiwert multipliziert. Somit enthalten diese Ansätze zunächst jeweils 18 Freiheitsgrade. Die Erfüllung der homogenen Gleichgewichtsbedingungen (4) bzw. (6) führt zu sechs linearen Abhängigkeiten bei der Scheibe und zu einer linearen Abhängigkeit bei der Platte. Daher besitzen Scheiben- bzw. Plattenelemente die folgende Anzahl an Freiheitsgraden in den Schnittkräften:
Bild 7: Schema der Polynomterme eines vollständigen quadratischen Polynoms
Bild Bild
Die auf diese Weise gewonnen Ansatzfunktionen werden in die Felder Bild bzw. Bild in (13) eingeordnet. Die zugehörigen Freiwerte werden in den Vektoren Bild (mit 12 Komponenten) bzw. Bild (mit 17 Komponenten) zusammengefasst.
(Anmerkung: Bei Scheiben- und Plattenelementen mit drei Eckknoten reicht ein linearer Polynomansatz aus. Bei Plattenelementen mit vier Eckknoten genügt ein bilinearer Ansatz.)
Beim Scheibenelement (Bild 5) werden die Verschiebungen Bild entlang einer Randkante mit einem linearen Ansatz mit zwei Freiwerten und die Verschiebungen Bild senkrecht zur Randkante mit einem kubischen Polynom mit vier Freiwerten formuliert. Die sechs auftretenden Freiwerte sind die sechs lokalen Verrückungsfreiheitsgrade des Anfang- und Endknotens der Kante.
Am Rand i-j werden sie mit Bild bezeichnet. Da es sich um lokale Größen handelt, werden sie zunächst in globale Knotenverrückungen des x-,y-,z-Koordinatensystems gedreht. Diese werden anschließend über Inzidenzvorschriften mit dem globalen Vektor der Knotenverrückungen (1) gekoppelt. In gleicher Weise wird auf den weiteren Randkanten vorgegangen. Nach diesen Beschreibungen findet man das Feld Bild, das die lokalen Verläufe der Randverrückungen mit dem globalen Vektor der Knotenverrückungen (1) verknüpft: Bild (15).
In ähnlicher Weise wird beim Plattenelement vorgegangen. Bevor auf geeignete Ansätze für die Verrückungen auf den Randkanten eingegangen werden kann, sei daran erinnert, dass Plattenelemente Querschübe übertragen. Diese zeigen nach der Kirchhoffschen Plattentheorie keinerlei Verformungen. Die Platte verhält sich querschubstarr. Ein Scherwinkel kann sich nicht einstellen. Deshalb muss auf jeder Randkante (z.B. Randkante i-j in Bild 6) gelten:
Bild Bild Bild (*)
Diese Bedingung verknüpft die Durchbiegung w mit der Verdrehung ψ, gemäß Bild. In der Mindlin-Reissnerschen Plattentheorie wird berücksichtigt, dass sich infolge Querschubübertragungen korrespondierende Verformungen einstellen. Der Scherwinkel auf den Randkanten verschwindet nicht, er muss die Bedingung
Bild Bild
erfüllen. Es ist nicht leicht, Ansätze für w und ψ zu finden, die der angegebenen Bedingung genügen. Im Sinne der FE-Methode, dass diese mit immer feinerer Elementierung zu immer besseren Ergebnissen strebt, reicht es aus, für den Scherwinkel einen konstanten Verlauf über eine Randkante anzunehmen. Für die Verläufe der Durchbiegung w und der Verdrehung ψ stehen auf jeder Randkante i-j der Länge Bild die vier Knotenverrückungen Bild und Bild als Stützwerte zur Verfügung, mit denen obige Bedingung diskretisiert wird:
Bild Bild Bild (**)
Die Ansatzfunktionen für die Verrückungen w und ψ müssen zulässig sein, d.h. die müssen die Bedingungen (*) und (**) befriedigen.
Nach Bild 6 werden die auf einer Randkante i-j gewählten Verrückungen erklärt. Die Koordinate s wird auf die Kantenlänge Bild bezogen und durch Bild ersetzt. Der Verlauf der Verdrehung φ wird ausgedrückt in dem linearen Ansatz:
Bild Bild
Folgende Ansätze für die Verläufe der Verdrehung ψ und der Durchbiegung w werden gewählt bei der Plattentheorie nach Kirchhoff
Bild Bild
und bei der Plattentheorie nach Mindlin-Reissner
Bild Bild
Es lässt sich leicht nachvollziehen, dass die Forderungen in (*) und (**) berücksichtigt sind.
Die am jeweiligen Rand benutzten Knotenverrückungen Bild sind lokal zu verstehen und müssen gedreht und in den globalen Verrückungsvektor einsortiert werden. Dieses Vorgehen führt schließlich zum Feld Bild das die besagten lokalen Verläufe der Randverrückungen mit dem globalen Vektor der Knotenverrückungen (2) verbindet:
Bild
Nach diesem hier aufgezeigten FEM-Konzept wurden unsere leistungsfähigen hybriden Spannungselemente für die Baupraxis entwickelt.

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