Einteilig mit Knagge

Auf den folgenden Seiten wird die Berechnung und der Nachweis des Dachanschlusses Einteilig genagelt mit Knagge nach DIN 1052:2004-08 erklärt.
Einteilig mit Knagge
Allgemein ist nachzuweisen, dass die Grenzzustände der Tragfähigkeit der Bauteile (hier: Knagge, Kehlbalken und Sparren) und der stiftförmigen metallischen Verbindungsmittel (hier: Nagel) eingehalten sind: Ed ≤ Rd.

Ed: Bemessungswert der Beanspruchungen in [N]

Die errechnete Schnittgröße unter Berücksichtigung der Bemessungssituation mit γ-fachen Einwirkungen.
Dialog Nachweise Dach

Die für die Berechnung und Nachweis dieses Kehlbalkenanschluss an den Sparren anzusetzenden Kräfte Fll und F⊥ ergeben sich aus dem folgenden Krafteck:
Gleichung Anschlusskräfte einteiliger Kehlbalken
Krafteck einteiliger Kehlbalken
Fll:resultierende Bemessungskraft parallel zur Faserrichtung Knagge und Sparren aus Nd und Qd in [N].
F⊥:resultierende Bemessungskraft rechtwinklig zur Faserrichtung Sparren aus Nd und Qd in [N].
γ:Sparrenneigung in [Grad].

Rd: Bemessungswert des Bauteil-/ Tragwiderstandes in [N]

Der Bemessungswert der Tragfähigkeit pro Verbindungsmittel (Nagel) wird wie folgt berechnet:
Gleichung 195
Rk:charakteristische Wert der Tragfähigkeit Rk pro Scherfuge und Verbindungsmittel, nach Gleichung (191) in [N].
kmod:Modifikationsbeiwert, der den Einfluss der Nutzungsklasse und der Lasteinwirkungsdauer auf die Festigkeitseigenschaften berücksichtigt; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle F.1.
γM:Teilsicherheitsbeiwert 1,1 für auf Biegung beanspruchte Stifte aus Stahl einzusetzen; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle 1.

Nachweis der Knagge (Druck in Faserrichtung Knagge)

Für die vorhandene Druckbeanspruchung an der Knagge aus dem Kehlbalken wird ein Spannungsnachweis in Faserrichtung des Holzes geführt.
Folgende Bedingung muss nach DIN 1052:2004-08, 10.2.3 erfüllt sein:
Gleichung 46
Dabei ist:
Druckspannung aus Fll
Gleichung 3
σc,0,d:vorhandene Druckspannung in Faserrichtung der Knagge in [N/mm²].
Fll:resultierende Bemessungskraft parallel zur Faserrichtung Knagge aus Nd und Qd im Kehlbalken in [N].
A:Druckfläche Knagge (Knaggenbreite x Knaggenhöhe) in [mm²].
fc,0,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Druck parallel) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
kmod:Modifikationsbeiwert, der den Einfluss der Nutzungsklasse und der Lasteinwirkungsdauer auf die Festigkeitseigenschaften berücksichtigt; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle F.1.
γM:Teilsicherheitsbeiwert 1,3 für Holz und Holzwerkstoffe einzusetzen; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle 1.

Nachweis des Sparrens (Druck rechtwinklig zur Faserrichtung Sparren)

Für die vorhandene Druckbeanspruchung am Sparren aus dem Kehlbalken wird ein Spannungsnachweis rechtwinklig zur Faserrichtung des Holzes geführt.
Folgende Bedingung muss nach DIN 1052:2004-08, 10.2.4 erfüllt sein:
Gleichung 47
Dabei ist:
Gleichung 48
Gleichung 3
σc,90,d:vorhandene Druckspannung rechtwinklig zur Faserrichtung des Sparrens in [N/mm²].
Fc,90,d:resultierende Bemessungskraft; hier: F⊥ rechtwinklig zur Faserrichtung Sparren aus Nd und Qd in [N].
Aef:wirksame Querdruckfläche Sparren (Sparrenbreite x lef) in [mm²].
lef:Aufstandslänge (hier: l + 2 x ü) in [mm], nach DIN 1052:2004-08, 10.2.4(1).
l:Auflagerlänge (hier: Kontaktlänge Kehlbalken) in [mm].
ü= 30 [mm]. ü darf jedoch nicht größer als l sein.
fc,90,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Druck rechtwinklig) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
kc,90:Querdruckbeiwert, nach DIN 1052:2004-08, 10.2.4(1).
kmod:Modifikationsbeiwert, der den Einfluss der Nutzungsklasse und der Lasteinwirkungsdauer auf die Festigkeitseigenschaften berücksichtigt; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle F.1.
γM:Teilsicherheitsbeiwert 1,3 für Holz und Holzwerkstoffe einzusetzen; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle 1.

Nachweis des Kehlbalkens (Kontaktfläche Fuge: Knagge-Kehlbalken)

Für die vorhandene Druckbeanspruchung (Druck unter einem Winkel α) am Kehlbalken aus der Knagge wird ein Spannungsnachweis in Abhängigkeit des Winkels zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung des Holzes (hier: Kehlbalken) geführt.
Folgende Bedingung muss nach DIN 1052:2004-08, 10.2.5 erfüllt sein:
Gleichung 49
Dabei ist:
Gleichung 50
Gleichung 51
Gleichung 52
Gleichung 3
Gleichung 3
Gleichung 3
σc,α,d:vorhandene Druckspannung in Abhängigkeit des Winkels zur Faserrichtung des Kehlbalkens in [N/mm²].
Fc,α,d:resultierende Bemessungskraft; hier: Fll parallel zur Faserrichtung Knagge aus Nd und Qd in [N].
α:Winkel zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung des Holzes bzw. Winkel zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung in [Grad].
Aef:wirksame Druckfläche Kehlbalken (Kehlbalkenbreite x lef) in [mm²].
lef:= l + ü ; Wirksame Länge in [mm], nach DIN 1052:2004-08, Bild 20b.
l:Knaggendicke in [mm].
ü= 30 x sin γ ; ü darf jedoch nicht größer als l sein in [mm].
γ:Sparrenneigung in [Grad].
fc,0,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Druck parallel) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
fc,90,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Druck rechtwinklig) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
fv,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Schub und Torsion) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
kc,90:Querdruckbeiwert, nach DIN 1052:2004-08, 10.2.4(1).
kmod:Modifikationsbeiwert, der den Einfluss der Nutzungsklasse und der Lasteinwirkungsdauer auf die Festigkeitseigenschaften berücksichtigt; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle F.1.
γM:Teilsicherheitsbeiwert 1,3 für Holz und Holzwerkstoffe einzusetzen; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle 1.

Nachweis des Kehlbalkens (Kontaktfläche Fuge: Sparren-Kehlbalken)

Für die vorhandene Druckbeanspruchung (Druck unter einem Winkel α) am Kehlbalken aus dem Sparren wird ein Spannungsnachweis in Abhängigkeit des Winkels zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung des Holzes (hier: Kehlbalken) geführt.
Folgende Bedingung muss nach DIN 1052:2004-08, 10.2.5 erfüllt sein:
Gleichung 49
Dabei ist:
Gleichung 50
Gleichung 51
Gleichung 52
Gleichung 3
Gleichung 3
Gleichung 3
σc,α,d:vorhandene Druckspannung in Abhängigkeit des Winkels zur Faserrichtung des Kehlbalkens in [N/mm²].
Fc,α,d:resultierende Bemessungskraft; hier: F rechtwinklig zur Faserrichtung Sparren aus Nd und Qd in [N].
α:Winkel zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung des Holzes bzw. Winkel zwischen Beanspruchungsrichtung und Faserrichtung in [Grad].
Aef:wirksame Druckfläche Kehlbalken (Kehlbalkenbreite x lef) in [mm²].
lef:= l + ü ; Wirksame Länge in [mm], nach DIN 1052:2004-08, Bild 20b.
l:Länge Fuge Sparren-Kehlbalken (hier: Kehlbalken  Höhe / sin γ - (Knaggendicke * cos γ) / sin γ) in [mm].
ü= 30 x cos γ ; ü darf jedoch nicht größer als l sein in [mm].
γ:Sparrenneigung in [Grad].
fc,0,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Druck parallel) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
fc,90,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Druck rechtwinklig) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
fv,k:Charakteristischer Festigkeitskennwert für Holz (Schub und Torsion) in [N/mm²]; nach DIN 1052:2004-08.
kc,90:Querdruckbeiwert, nach DIN 1052:2004-08, 10.2.4(1).
kmod:Modifikationsbeiwert, der den Einfluss der Nutzungsklasse und der Lasteinwirkungsdauer auf die Festigkeitseigenschaften berücksichtigt; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle F.1.
γM:Teilsicherheitsbeiwert 1,3 für Holz und Holzwerkstoffe einzusetzen; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle 1.

Bemessung der Nägel auf Abscheren

Es werden die Bemessungswerte der Tragfähigkeit pro Nagel und Scherfuge berechnet und mit diesen Eingangswerten die Anzahl der erforderlichen Nägel ermittelt.
Die Anzahl der erforderlichen Nägel berechnet sich aus:
Gleichung erforderliche Nägel
Dabei ist:
Fla,d:resultierende Bemessungskraft; hier: Fll parallel zur Faserrichtung Knagge aus Nd und Qd in [N].
Rl,ad:Bemessungswert der Tragfähigkeit Rd pro Nagel auf Abscheren in [N].

Berechnung der Bemessungswerte der Tragfähigkeit des Nagels

Der Bemessungswert der Tragfähigkeit Rd pro Nagel auf Abscheren wird dann wie folgt berechnet:
Gleichung 195
Der charakteristische Wert der Tragfähigkeit Rk pro Scherfuge und Nagel kann wie folgt berechnet werden, wenn die Bedingungen über die Mindestdicken t1,req und t2,req, nach DIN 1052:2004-08, 10.2.2(1), eingehalten sind.
Gleichung 191
Dabei ist:
Gleichung β

für nicht vorgebohrte Hölzer:
Gleichung 212
für vorgebohrte Hölzer:
Gleichung 213

Gleichung 214

fh,1k, fh,2k:charakteristischer Wert der Lochleibungsfestigkeit im Holz 1 bzw. 2 (hier: fh,1k = fh,2k da im Dachprogramm nur ein Holzmaterial gewählt werden kann) in [N/mm²].
ρk:charakteristische Rohdichte des Holzes in [kg/m³].
d:Nageldurchmesser in [mm].
My,k:charakteristischer Wert des Fließmomentes der Nägel in [Nmm].
fu,k:Charakteristische Mindestzugfestigkeit der Nägel in [N/mm²]
kmod:Modifikationsbeiwert, der den Einfluss der Nutzungsklasse und der Lasteinwirkungsdauer auf die Festigkeitseigenschaften berücksichtigt; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle F.1.
γM:Teilsicherheitsbeiwert 1,1 für auf Biegung beanspruchte stiftförmige Verbindungsmittel (Nägel) einzusetzen; nach DIN 1052:2004-08, Tabelle 1.

Nachweis Mindestholzdicke (Knagge) und Nagelmindesteinschlagtiefe

Abweichend von den Gleichungen (192) bis (194) wird hier der Nachweis der Mindestholzdicke der Knagge und die Nagelmindesteinschlagtiefe mit den Gleichungen (217) bis (219), nach DIN 1052:2004-08, 12.5.2, geführt.
Skizze min t
Die erforderliche Mindestholzdicke der Knagge t1,req und Nagelmindesteinschlagtiefe Nagel t2,req wird wie folgt berechnet in [mm]:
Nagelmindesteinschlagtiefe:Gleichung 217, Mindesteindringtiefe Nagel
Nadelholz vorgebohrt:Gleichung 217, Mindestdicke Holz
Schnittholz nicht vorgebohrt:Gleichung 218, Mindestdicke Holz
Kiefernholz nicht vorgebohrt:Gleichung 219, Mindestdicke Holz
Dabei ist:
d:Nageldurchmesser in [mm].
ρk:charakteristische Rohdichte des Holzes in [kg/m³].
Bei einer charakteristischen Rohdichte des Holzes von über 500 kg/m³ sind die Nagellöcher, nach DIN 1052:2004-08, 10.5.2(6), über die ganze Nagellänge vorzubohren.

Nachweis der einzuhaltenden Mindestabstände der Nägel

Die Mindestabstände der Nägel in der Knagge müssen nach DIN 1052:2004-08, Tabelle 10, eingehalten werden.
Skizze min a
Mindestabstände von Nägeln in [mm]:
AbstandNicht vorgebohrtVorgebohrt
ρk ≤ 420 kg/m³420 kg/m³ < ρk < 500 kg/m³ρk ≥ 500 kg/m³
a1:parallel zur Faserrichtungd < 5 mm: (5 + 5 * cos α) * d
d ≥ 5 mm: (5 + 7 * cos α) * d
(7 + 8 * cos α) * d(3 + 2 * cos α) * d
a2:rechtwinklig zur Faserrichtung5 * d7 * d3 * d
a1,t:beanspruchtes Hirnholzended < 5 mm: (7 + 5 * cos α) * d
d ≥ 5 mm: (10 + 5 * cos α) * d
(15 + 5 * cos α) * d(7 + 5 * cos α) * d
a1,c:unbeanspruchtes Hirnholzended < 5 mm: 7 * d
d ≥ 5 mm: 10 * d
15 * d7 * d
a2,t:beanspruchter Randd < 5 mm: (5 + 2 * sin α) * d
d ≥ 5 mm: (5 + 5 * sin α) * d
d < 5 mm: (7 + 2 * sin α) * d
d ≥ 5 mm: (7 + 5 * sin α) * d
(3 + 4 * sin α) * d
a2,c:unbeanspruchter Rand5 * d7 * d3 * d
Dabei ist:
d:Nageldurchmesser in [mm].
ρk:charakteristische Rohdichte des Holzes in [kg/m³].
Bei einer charakteristischen Rohdichte des Holzes von über 500 kg/m³ sind die Nagellöcher, nach DIN 1052:2004-08, 12.5.2(6), über die ganze Nagellänge vorzubohren.
α:Winkel zwischen Kraft- und Faserrichtung (hier 0° weil die Kraft parallel zur Holzfaser der Knagge verläuft) in [Grad].

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