Tragfähigkeit mit Querkraftbewehrung

Aufnehmbare Querkraft mit Querkraftbewehrung: Wenn VEd > VRd,ct ist, wird die erforderliche Querkraftbewehrung ermittelt.
VRd,sy = Asw * fyd * z * cot Θ

mit Druckstrebenwinkel

0,58 ≤ cot Θ ≤ (1,2 - 1,4 * σcd/fcd) / (1 - VRd,c/VEd) ≤ 3,0

und Beton-Traganteil

VRd,c = βct * 0,10 * η1 * fck1/3 * (1 + 1,4 * σcd/fcd) * bw * z (siehe DIN 1045-1, Formeln (73) bis (75) )

Ohne die Einwirkung von Normalkräften vereinfachen sich die Formeln:

mit Druckstrebenwinkel

0,58 ≤ cot Θ ≤ 1,2 / (1 - VRd,c/VEd) ≤ 3,0

und Beton-Traganteil

VRd,c = βct * 0,10 * η1 * fck1/3 * bw * z
Asw steht hier für die gebräuchliche Angabe der Querkraftbewehrung, nämlich je Bauteillängen-Einheit, also in cm²/m. Das entspricht der Bezeichnung (Asw/sw) in den Formeln der DIN 1045-1.
Zunächst wird der Mindestwinkel Θ (der kleinstmögliche Winkel) der Betondruckstreben berechnet. Er liegt für Normalbeton zwischen 18,5 und 40 Grad ( cot Θ zwischen 3,0 und 1,2), bei gleichzeitigen Längszugkräften zwischen 18,5 und 60 Grad ( cot Θ zwischen 3,0 und 0,58). Außerdem wird geprüft, ob dieser Winkel erhöht werden muss, weil die Druckstrebenfestigkeit maßgebend wird (siehe nächster Schritt: Maximal aufnehmbare Querkraft). Praktisch kann dadurch der Winkel auf bis zu 45 Grad erhöht werden.
Wenn der Anwender einen Druckstrebenwinkel vorgegeben hat, um z.B. mit den vereinfachten Werten nach DIN 1045-1 Abschnitt 10.3.4.(5) zu rechnen, so wird mit diesem Wert bemessen, allerdings wird dieser Winkel nach Formel (73) überprüft und korrigiert, falls er nicht zulässig ist.
Mit diesem Winkel wird die erforderliche Bewehrung Asw berechnet, sodass VEd = VRd,sy ist. Ein kleinerer Winkel Θ erfordert eine geringere Bewehrungsmenge. (Dieses Verfahren ersetzt die "verminderte Schubdeckung" aus DIN 1045(88) ).
Wenn der Anwender eine geneigte Querkraftbewehrung wünscht, also einen Winkel α < 90 Grad vorgibt, wird die erforderliche Querkraftbewehrung analog berechnet mit der Formel (77) der DIN 1045-1:
VRd,sy = Asw * fyd * z * (cot Θ + cot α) * sin α
Die erforderliche Bewehrung (je Länge in Richtung der Bauteilachse) verringert sich durch eine Neigung α < 90 Grad.

Fachwerkmodell Querkraftbemessung DIN 1045-1, Bild 33Fachwerkmodell Querkraftbemessung DIN 1045-1, Bild 33

Beispiel:

Auszug aus einem Textausdruck (Programm Xpla): Unterzug = Balkenelement
Material nach DIN 1045-1 (01)
================================================================================
Name: M1  C20/25 / BSt500S(A)
Elastizitätsmodul                E       28800.000 [N/mm2]
Querdehnzahl                     mue         0.167 [-]
spez. Gewicht                    gamma      25.000 [kN/m3]
Temperaturausdehnungskoeffizient AlphaT 1.000e-005 [1/°]
 
  
Balkenelemente (Lage, Trägheitsmomente)
================================================================================
  Name    X1    Y1    X2    Y2       Ixx       Iyy Material
         [m]   [m]   [m]   [m]     [cm4]     [cm4] [-]
--------------------------------------------------------------------------------
    U1  0.00  0.00  6.00  0.00                     M1

 
Balkenelemente (Abmessung, Bemessung)
================================================================================
  Name     B    D1    D2 h'o h'u    bl    br    Cs Art            dH
        [cm]  [cm]  [cm]    [cm]  [cm]  [cm]  [cm]              [cm]
--------------------------------------------------------------------------------
    U1  30.0  80.0  80.0 5.0 5.0   0.0   0.0   5.0 Unterzug

 
Balkenelemente (Schubbemessung)
================================================================================
  Name Feldbew.   Theta  Alpha   Hebelarm z Fugenb.        Art
                    [°]    [°]          [-]     [m]
--------------------------------------------------------------------------------
    U1    gest.  autom.   90.0  aus Biegeb.
 
 
Lastfallkombinationen
Name Kombination
================================================================================
   1 L1*1.35
 
 
ERGEBNISSE
==========
 
Lokale Balkenschnittgrößen
================================================================================
Name     x  Kn. Lf/k         Q              Mx               My
                          [kN]           [kNm]            [kNm]
--------------------------------------------------------------------------------

  U1  0.00      L1      283.32            0.00             0.03
           MiMy K1      382.48            0.00             0.05
           MaMy         382.48            0.00             0.05
 
      0.60      L1      239.86            0.00           170.02
           MiMy K1      323.81            0.00           229.53
           MaMy         323.81            0.00           229.53
 
      1.20      L1      153.00            0.00           287.86
           MiMy K1      206.55            0.00           388.61
           MaMy         206.55            0.00           388.61
 
      1.80      L1       66.19            0.00           353.62
           MiMy K1       89.35            0.00           477.38
           MaMy          89.35            0.00           477.38
 
      2.40      L1      -20.63            0.00           367.29
           MiMy K1      -27.85            0.00           495.83
           MaMy         -27.85            0.00           495.83
 
      3.00      L1     -107.45            0.00           328.86
           MiMy K1     -145.06            0.00           443.96
           MaMy        -145.06            0.00           443.96
 
      3.60      L1     -194.27            0.00           238.35
           MiMy K1     -262.26            0.00           321.77
           MaMy        -262.26            0.00           321.77
 
      4.20      L1     -281.08            0.00            95.74
           MiMy K1     -379.46            0.00           129.25
           MaMy        -379.46            0.00           129.25
 
      4.80      L1     -367.91            0.00           -98.95
           MiMy K1     -496.68            0.00          -133.59
           MaMy        -496.68            0.00          -133.59
 
      5.40      L1     -454.92            0.00          -345.74
           MiMy K1     -614.15            0.00          -466.75
           MaMy        -614.15            0.00          -466.75
 
      6.00      L1     -498.51            0.00          -644.84
           MiMy K1     -672.99            0.00          -870.53
           MaMy        -672.99            0.00          -870.53


Biegebemessung der Balkenelemente
================================================================================
Name     x      Typ         Biegung
                         Aso    Asu
                              [cm2]
--------------------------------------------------------------------------------
  U1  0.00      K1      0.00   0.00
      0.05      K1      0.00   0.57
      0.60      K1      0.00   7.28
      0.80      K1      0.00   9.21
      1.20      K1      0.00  13.33
      1.80      K1      0.00  17.10
      2.40      K1      0.00  17.93
      3.00      K1      0.00  15.64
      3.60      K1      0.00  10.69
      4.20      K1      0.00   3.92
      4.80      K1      4.06   0.00
      5.20      K1     12.01   0.00
      5.40      K1     16.63   0.00
      5.95      K1     33.46   4.17
      6.00      K1     34.56   5.28

  
Schubbemessung der Balkenelemente
================================================================================
Name     x      Typ                                Querkraft
                          VEd ctTheta  VRd,sy VRd,max    Asw
       [m]               [kN]     [-]    [kN]    [kN][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
  U1  0.00      K1     382.48    1.95  284.72  777.56   4.49
      0.05      K1     377.59    1.95  284.72  768.81   4.53
      0.60      K1     323.81    2.08  284.72  697.76   4.50
      0.80      K1     284.72    2.27  284.72  646.49   4.19
      1.20      K1     206.55    3.00  206.55  505.80   2.40
      1.80      K1      89.35    3.00  176.22  487.06   2.12
      2.40      K1      27.85    3.00  174.73  482.94   2.12
      3.00      K1     145.06    3.00  178.85  494.31   2.12
      3.60      K1     262.26    2.43  262.26  609.33   3.66
      4.20      K1     379.46    1.91  379.46  756.54   6.33
      4.80      K1     496.68    1.68  496.68  809.39   9.45
      5.20      K1     574.99    1.55  574.99  777.23  12.71
      5.40      K1     614.15    1.51  574.99  751.62  13.72
      5.95      K1     668.09    1.43  574.99  668.09  16.61
      6.00      K1     672.99    1.40  574.99  672.99  16.98
      

Hinweis:

Die maßgebende Bemessungsstelle für VRd,sy liegt im Abstand von d (= 0,75 m) neben dem Auflagerrand. In XPLA wird sie vereinfachend im Abstand h (= 0,80 m) neben der Auflagerachse angenommen, da in XPLA derzeit keine Auflagerlängen impliziert sind. Daher wird hier zwischen 0,00 m und 0,80 m konstant für VEd bei 0,80 m bemessen. Die Bewehrungsmenge ändert sich dennoch wegen eines veränderlichen Hebelarms aus der Biegebemessung und eines veränderlichen Winkels Θ. Ebenso wird zwischen 5,20 m und 6,00 m konstant für VEd bei 5,20 bemessen.

Nachrechnung bei x = 4,80 :

EingangsgrößeWert
fck20 MN/m² (C20/25)
fcd0,85 * 20 / 1,5 = 11,33 MN/m² (C20/25)
fyd500 / 1,15 = 435 MN/m² (BSt500)
βct2,4 (Rauigkeitsbeiwert)
η11,0 (Normalbeton)
αc0,75 (Normalbeton)
b/h/d300 / 800 / 750mm (Balken)
M133,59 kNm
As4,06 cm² (aus der Biegebemessung)
z = M/As*ftd133,59/(4,06*5252/1,15)*10=0,721 m = 721 cm
VEd496,68 kN
Asw9,45 cm²

VRd,c = 2,4 * 0,10 * 1,0 * 201/3 * 300 * 721 / 1000 = 140,91 kN
cot Θ = 1,2 / (1 - 140,91/496,68) = 1,675
tan Θ = tan (acot 1,675) = 0,597
VRd,sy = 9,45 * 435 * 721 * 1,675 / 10000 = 496 kN
VRd,max = (300 * 721 * 0,75 * 11,33) / (1,675 + 0,597) / 1000 = 809 kN