Sonderfall der zweiachsig gespannten Platte

Die zweiachsig gespannte Platte stellt einen Sonderfall der Querkraftbemessung dar. Eine Platte wird durch Schnittgrößen mx, my, mxy und Querkräfte vx, vy beansprucht. Aus der Biegebemessung resultieren Bewehrungen Asx und Asy, unten und oben.

Unsere Programme gehen nach dem folgenden Schema vor:

Maßgebende Bemessungsquerkraft

VEd = √(VEdx ² + VEdy ²)

Winkel zur x-Achse:

sin α = VEdy / VEd
Aus der Längsbewehrung aus der Biegebemessung (oder ggf. einer höheren gewählten Grundbewehrung) wird eine wirksame Bewehrung As' ermittelt, mit der die Querkrafttragfähigkeit VRd,ct berechnet werden kann:
WertFormel
Asx,u'=Asx,u * cos α
Asy,u'=Asy,u * sin α
As,u'=√(Asx,u' ² + Asy,u' ²)
As,o'=analog As,u'

Ob As,u' oder As,o' in die Berechnung von VRd,ct eingeht, hängt vom den Richtung von VEd ab: Ist diese Richtung näher zur x-Achse, also ist VEdx dem Betrag nach größer als VEdy, so wird das Vorzeichen des Momentes Mx maßgebend, anderenfalls das Vorzeichen von My; bei positivem Moment (unten Zug) geht die untere Bewehrung ein, anderenfalls die obere Bewehrung.
Der weitere Rechengang ist zunächst wie in der einachsigen Beanspruchung. Ist VRd,ct < VEd, ist der Nachweis der Tragfähigkeit erbracht. Andernfalls wird die erforderliche Querkraftbewehrung für VEd ermittelt. Oder die Längswehrung wird erhöht, wenn der Anwender dies wünscht, und zwar wie folgt:
GesAs' ist die erhöhte Bewehrung, für VRd,ct = VEd. Mit diesem Wert werden die erforderlichen Zulagen berechnet:
ZulAsx = (GesAs' * cos α) - Asx
ZulAsy = (GesAs' * sin α) - Asy

Beispiel:

Auszug aus einem Textausdruck (Programm XPLA):

Material nach DIN 1045-1 (01)
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Name: M1  C20/25 / BSt500S(A)
Elastizitätsmodul                E       28800.000 [N/mm2]
Querdehnzahl                     mue         0.167 [-]
spez. Gewicht                    gamma      25.000 [kN/m3]
Temperaturausdehnungskoeffizient AlphaT 1.000e-005 [1/°]
 
 
Bewehrungsdefinitionen
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    Name: BA1    Grundbewehrung   Zulagebewehrung
              h'[cm]  as[cm2/m]            h'[cm]
  oben  X        0.0       0.00               4.0
  oben  Y        0.0       0.00               4.0
  unten X        0.0       0.00               4.0
  unten Y        0.0       0.00               4.0
 
  Verdrehung beider Bewehrungsrichtungen gegenüber
  dem globalen Koordinatensystem  Delta[°]   0.00
 
  Scherwinkel der Bewehrungsrichtungen
  untereinander                   Phi  [°]  90.00
 
  Die Feldbewehrung ist nicht gestaffelt.
  Neigung der Druckstreben   :autom.
  Neigung der Schubbewehrung :90.00
  Die Längsbewehrung wird erhöht, um Schubbewehrung einzusparen.
  Maximales Längsbewehrungsverhältnis : 2.00 %.
 

Plattenpolygone
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    Name       X       Y    Dicke   Mat  Bew.Def.
             [m]     [m]     [cm]
--------------------------------------------------------------------------------
      P1 -10.000   6.000    18.00    M1       BA1
      P1   5.000   6.000    18.00    M1       BA1
      P1   5.000  -5.000    18.00    M1       BA1
      P1 -10.000  -5.000    18.00    M1       BA1
 

Lastfallkombinationen
Name Kombination
================================================================================
   1 L1
 
 
ERGEBNISSE
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Plattenschnittgrößen für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber.     x     y      Lf/k        mx       my      mxy       m1       m2    alpha       qx       qy
       [m]   [m]             [kNm/m]  [kNm/m]  [kNm/m]  [kNm/m]  [kNm/m]      [°]   [kN/m]   [kN/m]
-------------------------------------------------------------------------------- 
 AB1 -0.50  0.00      L1       -1.65   -74.47     0.90    -1.64   -74.49     0.70  -219.65     3.00
 AB1 -0.50  0.50      L1      -30.09   -55.34   -11.59   -25.58   -59.85   -21.28   -27.11    24.52
 AB1 -0.50  1.00      L1      -22.26   -13.26    -6.07   -10.20   -25.31   -63.26   -14.54    64.39
 AB1 -0.50  1.50      L1      -12.21    11.47     0.06    11.47   -12.21    89.84    -1.80    50.66
 

Biegebemessung der Plattenelemente
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Es wird das Maximum aus Zug- und Druckbewehrung ausgegeben. Die Stellen,
an denen Druckbewehrung erforderlich ist, sind mit einem * versehen.
Es werden nur die Ergebnisse der Zulagebewehrung ausgegeben.
Bemessungsmomente und erf.As oben  abz. Grundbew. für Ausgabebereich : AB1
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Ber.     x     y Lf/k       MxBem     hx    Asx      MyBem     hy    Asy
       [m]   [m]          [kNm/m]   [cm][cm2/m]    [kNm/m]   [cm][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
 AB1 -0.50  0.00 K1         -2.55  14.00   0.40     -75.37  14.00  15.95
 AB1 -0.50  0.50 K1        -41.68  14.00   7.55     -66.93  14.00  13.54
 AB1 -0.50  1.00 K1        -28.33  14.00   4.85     -19.33  14.00   3.17+
 AB1 -0.50  1.50 K1        -12.28  14.00   1.98       0.00  14.00   0.00
 
 
Bemessungsmomente und erf.As unten abz. Grundbew. für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber.     x     y Lf/k       MxBem     hx    Asx      MyBem     hy    Asy
       [m]   [m]          [kNm/m]   [cm][cm2/m]    [kNm/m]   [cm][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
 AB1 -0.50  0.00 K1          0.00  14.00   0.00       0.00  14.00   0.00
 AB1 -0.50  0.50 K1          0.00  14.00   0.00       0.00  14.00   0.00
 AB1 -0.50  1.00 K1          0.00  14.00   0.00       0.00  14.00   0.00
 AB1 -0.50  1.50 K1          0.00  14.00   0.00      11.53  14.00   1.86+ 

 
Schubbemessung der Plattenelemente für Ausgabebereich : AB1
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Ber.     x     y Lf/k      VEd    VEdx    VEdy  Alpha  VRd,ct   VRd,sy VRd,max     Asw  zulAsx  zulAsy
       [m]   [m]        [kN/m]  [kN/m]  [kN/m]    [°]  [kN/m]   [kN/m]  [kN/m][cm2/m2] [cm2/m] [cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
 AB1 -0.50  0.00 K1     219.67 -219.65    3.00   0.78   24.31   219.67  468.63   17.59
 AB1 -0.50  0.50 K1      36.55  -27.11   24.52  42.13   69.42     0.00  343.90    0.00
 AB1 -0.50  1.00 K1      66.01  -14.54   64.39  77.27   66.01     0.00  348.94    0.00    0.00    5.77o
 AB1 -0.50  1.50 K1      50.69   -1.80   50.66  87.97   50.70     0.00  346.17    0.00    0.15    2.29u

Nachrechnung bei x=-0,50 y=1.00:

EingangsgrößeWert
fck20 MN/m² (C20/25)
fyd500 / 1,15 = 435 MN/m² (BSt500)
h/d180 / 140 mm (Platte)
κ1 + √(200/180) = 2,05 ≥ 2,0
η11,0 (Normalbeton)
σcd0 (keine Normalkräfte)
|VEdx|14,54 kN/m
|VEdy|64,39 kN/m > |VEdx|
My-13,26 kNm/m < 0
Vorzeichen von My wird maßgebend
As,o maßgebend zur Berechnung von VRd,ct
VEd√(14,54 ² + 64,39 ²) = 66,01 kN/m
αarcsin (64,39 / 66,01) = 77,3°
Asx,o4,85 cm²/m aus der Biegebemessung
Asy,o3,17 cm²/m aus der Biegebemessung

wirksame Biegebewehrung:

Asx,o' = 4,85 * cos 77,3° = 1,07 cm²/m
Asy,o' = 3,17 * sin 77,3° = 3,09 cm²/m
As,o' = √(1,07 ² + 3,09 ²) = 3,27 cm²/m
ρ1 = 3,27 / (100 * 14) = 0,00234
VRd,ct = [0,10 * κ * η1 * ( 100 * ρ1*fck)1/3 - 0,12 σcd] * bw * d
VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00234 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 46,84 kN/m < VEd = 66,01 kN/m

Längsbewehrung wird erhöht auf GesAs' = 9,17 cm²/m

ρ1 = 9,17 / (100 * 14) = 0,00655
VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00655 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 66,01 kN/m = VEd !

Zulagen oben:

ZulAsx = 9,17 * cos 77,3° - 4,85 → 0
ZulAsy = 9,17 * sin 77,3° - 3,17 = 5,77 cm²/m

Nachrechnung bei x=-0,50 y=0,50:

EingangsgrößeWert
|VEdx|27,11 kN/m
|VEdy|24,52 kN/m < |VEdx|
Mx -30,09 kNm/m < 0
Vorzeichen von My wird maßgebend
As,o maßgebend zur Berechnung von VRd,ct
VEd√(27,11 ² + 24,52 ²) = 36,55 kN/m
αarcsin (24,52 / 36,55) = 42,1°
Asx,o7,55 cm²/m aus der Biegebemessung
Asy,o13,54 cm²/m aus der Biegebemessung

wirksame Biegebewehrung:

Asx,o' = 7,55 * cos 42,1° = 5,60 cm²/m
Asy,o' = 13,54 * sin 42,1° = 9,08 cm²/m
As,o' = √(5,60 ² + 9,08 ²) = 10,67 cm²/m
ρ1 = 10,67 / (100 * 14) = 0,00762
VRd,ct = [0,10 * κ * η1 * ( 100 * ρ1*fck)1/3 - 0,12 σcd] * bw * d
VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00762 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 69,42 kN/m > VEd = 36,55 kN/m Längsbewehrung ausreichend.

Nachrechnung bei x=-0,50 y=0,0:

VEd = 219,67 kN/m

erf. Längsbewehrungsgrad wäre: ρ1 = 0,2414:

VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,2414 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 219,67 kN/m = VEd !
ρ1 = 0,2441 >> zul ρ1 = 0,02 = 2,0 % → Querkraftbewehrung erforderlich, Längsbewehrung wird nicht erhöht.