Sonderfall der zweiachsig gespannten Platte

Die zweiachsig gespannte Platte stellt einen Sonderfall der Querkraftbemessung dar. Eine Platte wird durch Schnittgrößen m_x, m_y, m_xy und Querkräfte v_x, v_y beansprucht. Aus der Biegebemessung resultieren Bewehrungen A_sx und A_sy, unten und oben.

Unsere Programme gehen nach dem folgenden Schema vor:

Maßgebende Bemessungsquerkraft

V_Ed = √(V_Edx ² + V_Edy ²)

Winkel zur x-Achse:

sin α = V_Edy / V_Ed

Aus der Längsbewehrung aus der Biegebemessung (oder ggf. einer höheren gewählten Grundbewehrung) wird eine wirksame Bewehrung As' ermittelt, mit der die Querkrafttragfähigkeit V_Rd,ct berechnet werden kann:

Wert	Formel
A_sx,u'=	A_sx,u * cos α
A_sy,u'=	A_sy,u * sin α
A_s,u'=	√(A_sx,u' ² + A_sy,u' ²)
A_s,o'=	analog A_s,u'

Ob A_s,u' oder A_s,o' in die Berechnung von V_Rd,ct eingeht, hängt vom den Richtung von V_Ed ab: Ist diese Richtung näher zur x-Achse, also ist V_Edx dem Betrag nach größer als V_Edy, so wird das Vorzeichen des Momentes M_x maßgebend, anderenfalls das Vorzeichen von M_y; bei positivem Moment (unten Zug) geht die untere Bewehrung ein, anderenfalls die obere Bewehrung.

Der weitere Rechengang ist zunächst wie in der einachsigen Beanspruchung. Ist V_Rd,ct < V_Ed, ist der Nachweis der Tragfähigkeit erbracht. Andernfalls wird die erforderliche Querkraftbewehrung für V_Ed ermittelt. Oder die Längsbewehrung wird erhöht, wenn der Anwender dies wünscht, und zwar wie folgt:

GesA_s' ist die erhöhte Bewehrung, für V_Rd,ct = V_Ed. Mit diesem Wert werden die erforderlichen Zulagen berechnet:

ZulA_sx = (GesA_s' * cos α) - A_sx

ZulA_sy = (GesA_s' * sin α) - A_sy

Beispiel:

Auszug aus einem Textausdruck (Programm XPLA):

Material nach DIN 1045-1 (01)
================================================================================
Name: M1  C20/25 / BSt500S(A)
Elastizitätsmodul                E       28800.000 [N/mm2]
Querdehnzahl                     mue         0.167 [-]
spez. Gewicht                    gamma      25.000 [kN/m3]
Temperaturausdehnungskoeffizient AlphaT 1.000e-005 [1/°]
 
 
Bewehrungsdefinitionen
================================================================================
 
    Name: BA1    Grundbewehrung   Zulagebewehrung
              h'[cm]  as[cm2/m]            h'[cm]
  oben  X        0.0       0.00               4.0
  oben  Y        0.0       0.00               4.0
  unten X        0.0       0.00               4.0
  unten Y        0.0       0.00               4.0
 
  Verdrehung beider Bewehrungsrichtungen gegenüber
  dem globalen Koordinatensystem  Delta[°]   0.00
 
  Scherwinkel der Bewehrungsrichtungen
  untereinander                   Phi  [°]  90.00
 
  Die Feldbewehrung ist nicht gestaffelt.
  Neigung der Druckstreben   :autom.
  Neigung der Schubbewehrung :90.00
  Die Längsbewehrung wird erhöht, um Schubbewehrung einzusparen.
  Maximales Längsbewehrungsverhältnis : 2.00 %.
 

Plattenpolygone
================================================================================
    Name       X       Y    Dicke   Mat  Bew.Def.
             [m]     [m]     [cm]
--------------------------------------------------------------------------------
      P1 -10.000   6.000    18.00    M1       BA1
      P1   5.000   6.000    18.00    M1       BA1
      P1   5.000  -5.000    18.00    M1       BA1
      P1 -10.000  -5.000    18.00    M1       BA1
 

Lastfallkombinationen
Name Kombination
================================================================================
   1 L1
 
 
ERGEBNISSE
==========
 
Plattenschnittgrößen für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber.     x     y      Lf/k        mx       my      mxy       m1       m2    alpha       qx       qy
       [m]   [m]             [kNm/m]  [kNm/m]  [kNm/m]  [kNm/m]  [kNm/m]      [°]   [kN/m]   [kN/m]
-------------------------------------------------------------------------------- 
 AB1 -0.50  0.00      L1       -1.65   -74.47     0.90    -1.64   -74.49     0.70  -219.65     3.00
 AB1 -0.50  0.50      L1      -30.09   -55.34   -11.59   -25.58   -59.85   -21.28   -27.11    24.52
 AB1 -0.50  1.00      L1      -22.26   -13.26    -6.07   -10.20   -25.31   -63.26   -14.54    64.39
 AB1 -0.50  1.50      L1      -12.21    11.47     0.06    11.47   -12.21    89.84    -1.80    50.66
 

Biegebemessung der Plattenelemente
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Es wird das Maximum aus Zug- und Druckbewehrung ausgegeben. Die Stellen,
an denen Druckbewehrung erforderlich ist, sind mit einem * versehen.
Es werden nur die Ergebnisse der Zulagebewehrung ausgegeben.
Bemessungsmomente und erf.As oben  abz. Grundbew. für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber.     x     y Lf/k       MxBem     hx    Asx      MyBem     hy    Asy
       [m]   [m]          [kNm/m]   [cm][cm2/m]    [kNm/m]   [cm][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
 AB1 -0.50  0.00 K1         -2.55  14.00   0.40     -75.37  14.00  15.95
 AB1 -0.50  0.50 K1        -41.68  14.00   7.55     -66.93  14.00  13.54
 AB1 -0.50  1.00 K1        -28.33  14.00   4.85     -19.33  14.00   3.17+
 AB1 -0.50  1.50 K1        -12.28  14.00   1.98       0.00  14.00   0.00
 
 
Bemessungsmomente und erf.As unten abz. Grundbew. für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber.     x     y Lf/k       MxBem     hx    Asx      MyBem     hy    Asy
       [m]   [m]          [kNm/m]   [cm][cm2/m]    [kNm/m]   [cm][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
 AB1 -0.50  0.00 K1          0.00  14.00   0.00       0.00  14.00   0.00
 AB1 -0.50  0.50 K1          0.00  14.00   0.00       0.00  14.00   0.00
 AB1 -0.50  1.00 K1          0.00  14.00   0.00       0.00  14.00   0.00
 AB1 -0.50  1.50 K1          0.00  14.00   0.00      11.53  14.00   1.86+ 

 
Schubbemessung der Plattenelemente für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber.     x     y Lf/k      VEd    VEdx    VEdy  Alpha  VRd,ct   VRd,sy VRd,max     Asw  zulAsx  zulAsy
       [m]   [m]        [kN/m]  [kN/m]  [kN/m]    [°]  [kN/m]   [kN/m]  [kN/m][cm2/m2] [cm2/m] [cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
 AB1 -0.50  0.00 K1     219.67 -219.65    3.00   0.78   24.31   219.67  468.63   17.59
 AB1 -0.50  0.50 K1      36.55  -27.11   24.52  42.13   69.42     0.00  343.90    0.00
 AB1 -0.50  1.00 K1      66.01  -14.54   64.39  77.27   66.01     0.00  348.94    0.00    0.00    5.77o
 AB1 -0.50  1.50 K1      50.69   -1.80   50.66  87.97   50.70     0.00  346.17    0.00    0.15    2.29u

Nachrechnung bei x=-0,50 y=1.00:

Eingangsgröße	Wert
f_ck	20 MN/m² (C20/25)
f_yd	500 / 1,15 = 435 MN/m² (BSt500)
h/d	180 / 140 mm (Platte)
κ	1 + √(200/180) = 2,05 ≥ 2,0
η₁	1,0 (Normalbeton)
σ_cd	0 (keine Normalkräfte)
\|V_Edx\|	14,54 kN/m
\|V_Edy\|	64,39 kN/m > \|V_Edx\|
M_y	-13,26 kNm/m < 0 Vorzeichen von M_y wird maßgebend A_s,o maßgebend zur Berechnung von V_Rd,ct
V_Ed	√(14,54 ² + 64,39 ²) = 66,01 kN/m
α	arcsin (64,39 / 66,01) = 77,3°
A_sx,o	4,85 cm²/m aus der Biegebemessung
A_sy,o	3,17 cm²/m aus der Biegebemessung

wirksame Biegebewehrung:

A_sx,o' = 4,85 * cos 77,3° = 1,07 cm²/m

A_sy,o' = 3,17 * sin 77,3° = 3,09 cm²/m

A_s,o' = √(1,07 ² + 3,09 ²) = 3,27 cm²/m

ρ₁ = 3,27 / (100 * 14) = 0,00234

V_Rd,ct = [0,10 * κ * η₁ * ( 100 * ρ₁*f_ck)^1/3 - 0,12 σ_cd] * b_w * d

V_Rd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00234 * 20 )^1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 46,84 kN/m < VEd = 66,01 kN/m

Längsbewehrung wird erhöht auf GesAs' = 9,17 cm²/m

ρ₁ = 9,17 / (100 * 14) = 0,00655

V_Rd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00655 * 20 )^1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 66,01 kN/m = VEd !

Zulagen oben:

ZulAsx = 9,17 * cos 77,3° - 4,85 → 0

ZulAsy = 9,17 * sin 77,3° - 3,17 = 5,77 cm²/m

Nachrechnung bei x=-0,50 y=0,50:

Eingangsgröße	Wert
\|V_Edx\|	27,11 kN/m
\|V_Edy\|	24,52 kN/m < \|V_Edx\|
M_x	-30,09 kNm/m < 0 Vorzeichen von M_y wird maßgebend A_s,o maßgebend zur Berechnung von V_Rd,ct
V_Ed	√(27,11 ² + 24,52 ²) = 36,55 kN/m
α	arcsin (24,52 / 36,55) = 42,1°
A_sx,o	7,55 cm²/m aus der Biegebemessung
A_sy,o	13,54 cm²/m aus der Biegebemessung

wirksame Biegebewehrung:

A_sx,o' = 7,55 * cos 42,1° = 5,60 cm²/m

A_sy,o' = 13,54 * sin 42,1° = 9,08 cm²/m

A_s,o' = √(5,60 ² + 9,08 ²) = 10,67 cm²/m

ρ₁ = 10,67 / (100 * 14) = 0,00762

V_Rd,ct = [0,10 * κ * η₁ * ( 100 * ρ₁*f_ck)^1/3 - 0,12 σ_cd] * b_w * d

V_Rd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00762 * 20 )^1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 69,42 kN/m > VEd = 36,55 kN/m Längsbewehrung ausreichend.

Nachrechnung bei x=-0,50 y=0,0:

V_Ed = 219,67 kN/m

erf. Längsbewehrungsgrad wäre: ρ₁ = 0,2414:

V_Rd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,2414 * 20 )^1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 219,67 kN/m = VEd !

ρ₁ = 0,2441 >> zul ρ₁ = 0,02 = 2,0 % → Querkraftbewehrung erforderlich, Längsbewehrung wird nicht erhöht.

Sonderfall der zweiachsig gespannten Platte

Unsere Programme gehen nach dem folgenden Schema vor:

Maßgebende Bemessungsquerkraft

Winkel zur x-Achse:

Beispiel:

Auszug aus einem Textausdruck (Programm XPLA):

Nachrechnung bei x=-0,50 y=1.00:

wirksame Biegebewehrung:

Längsbewehrung wird erhöht auf GesAs' = 9,17 cm²/m

Zulagen oben:

Nachrechnung bei x=-0,50 y=0,50:

wirksame Biegebewehrung:

Nachrechnung bei x=-0,50 y=0,0:

erf. Längsbewehrungsgrad wäre: ρ1 = 0,2414:

Verwandte Informationen:

erf. Längsbewehrungsgrad wäre: ρ₁ = 0,2414: