Aufnehmbare Querkraft mit Querkraftbewehrung
Wenn VEd > VRd,ct ist, wird die erforderliche Querkraftbewehrung ermittelt.
VRd,sy = Asw * fyd * z * cot Θ
mit Druckstrebenwinkel
0,58 ≤ cot Θ ≤ (1,2 - 1,4 * σcd/fcd) / (1 - VRd,c/VEd) ≤ 3,0
und Beton-Traganteil
VRd,c = βct * 0,10 * η1 * fck1/3 * (1 + 1,4 * σcd/fcd) * bw * z
(siehe DIN 1045-1, Formeln (73) bis (75) )
Ohne die Einwirkung von Normalkräften vereinfachen sich die Formeln:
Druckstrebenwinkel
0,58 ≤ cot Θ ≤ 1,2 / (1 - VRd,c/VEd) ≤ 3,0
und Beton-Traganteil
VRd,c = βct * 0,10 * η1 * fck1/3 * bw * z
Asw steht hier für die gebräuchliche Angabe der Querkraftbewehrung, nämlich je Bauteillängen-Einheit, also in cm²/m.
Das entspricht der Bezeichnung (Asw/sw) in den Formeln der DIN 1045-1.
Zunächst wird der Mindestwinkel Θ (der kleinstmögliche Winkel) der Betondruckstreben berechnet.
Er liegt für Normalbeton zwischen 18,5 und 40 Grad ( cot Θ zwischen 3,0 und 1,2),
bei gleichzeitigen Längszugkräften zwischen 18,5 und 60 Grad ( cot Θ zwischen 3,0 und 0,58).
Ausserdem wird geprüft, ob dieser Winkel erhöht werden muss, weil die Druckstrebenfestigkeit
maßgebend wird (siehe nächster Schritt: Maximal aufnehmbare Querkraft). Praktisch kann dadurch
der Winkel auf bis zu 45 Grad erhöht werden.
Wenn der Anwender einen Druckstrebenwinkel vorgegeben hat, um z.B. mit den vereinfachten Werten nach DIN 1045-1 Abschnitt 10.3.4.(5)
zu rechnen, so wird mit diesem Wert bemessen, allerdings wird dieser Winkel nach Formel (73) überprüft und korrigiert, falls er
nicht zulässig ist.
Mit diesem Winkel wird die erforderliche Bewehrung Asw berechnet, sodass VEd = VRd,sy ist.
Ein kleinerer Winkel Θ erfordert eine geringere Bewehrungsmenge.
(Dieses Verfahren ersetzt die "verminderte Schubdeckung" aus DIN 1045(88) ).
Wenn der Anwender eine geneigte Querkraftbewehrung wünscht, also einen Winkel α < 90 Grad vorgibt,
wird die erforderliche Querkraftbewehrung analog berechnet mit der Formel (77) der DIN 1045-1:
VRd,sy = Asw * fyd * z * (cot Θ + cot α) * sin α
Die erforderliche Bewehrung (je Länge in Richtung der Bauteilachse) verringert sich durch eine Neigung α < 90 Grad.
Fachwerkmodell zur Querkraftbemessung (aus DIN 1045-1,Bild 33)
Beispiel:
Auszug aus einem Textausdruck (Programm XPLA):
(Unterzug = Balkenelement)
<![CDATA[
Material nach DIN 1045-1 (01)
================================================================================
Name: M1 C20/25 / BSt500S(A)
Elastizitätsmodul E 28800.000 [N/mm2]
Querdehnzahl mue 0.167 [-]
spez. Gewicht gamma 25.000 [kN/m3]
Temperaturausdehnungskoeffizient AlphaT 1.000e-005 [1/°]
Balkenelemente (Lage, Trägheitsmomente)
================================================================================
Name X1 Y1 X2 Y2 Ixx Iyy Material
[m] [m] [m] [m] [cm4] [cm4] [-]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 0.00 6.00 0.00 M1
Balkenelemente (Abmessung, Bemessung)
================================================================================
Name B D1 D2 h'o h'u bl br Cs Art dH
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 30.0 80.0 80.0 5.0 5.0 0.0 0.0 5.0 Unterzug
Balkenelemente (Schubbemessung)
================================================================================
Name Feldbew. Theta Alpha Hebelarm z Fugenb. Art
[°] [°] [-] [m]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 gest. autom. 90.0 aus Biegeb.
Lastfallkombinationen
Name Kombination
================================================================================
1 L1*1.35
ERGEBNISSE
==========
Lokale Balkenschnittgrößen
================================================================================
Name x Kn. Lf/k Q Mx My
[kN] [kNm] [kNm]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 L1 283.32 0.00 0.03
MiMy K1 382.48 0.00 0.05
MaMy 382.48 0.00 0.05
0.60 L1 239.86 0.00 170.02
MiMy K1 323.81 0.00 229.53
MaMy 323.81 0.00 229.53
1.20 L1 153.00 0.00 287.86
MiMy K1 206.55 0.00 388.61
MaMy 206.55 0.00 388.61
1.80 L1 66.19 0.00 353.62
MiMy K1 89.35 0.00 477.38
MaMy 89.35 0.00 477.38
2.40 L1 -20.63 0.00 367.29
MiMy K1 -27.85 0.00 495.83
MaMy -27.85 0.00 495.83
3.00 L1 -107.45 0.00 328.86
MiMy K1 -145.06 0.00 443.96
MaMy -145.06 0.00 443.96
3.60 L1 -194.27 0.00 238.35
MiMy K1 -262.26 0.00 321.77
MaMy -262.26 0.00 321.77
4.20 L1 -281.08 0.00 95.74
MiMy K1 -379.46 0.00 129.25
MaMy -379.46 0.00 129.25
4.80 L1 -367.91 0.00 -98.95
MiMy K1 -496.68 0.00 -133.59
MaMy -496.68 0.00 -133.59
5.40 L1 -454.92 0.00 -345.74
MiMy K1 -614.15 0.00 -466.75
MaMy -614.15 0.00 -466.75
6.00 L1 -498.51 0.00 -644.84
MiMy K1 -672.99 0.00 -870.53
MaMy -672.99 0.00 -870.53
Biegebemessung der Balkenelemente
================================================================================
Name x Typ Biegung Torsion Summe
Aso Asu TEd TRd,sy TRd,max Asl B Aso Asu
[cm2] [kNm] [kNm] [kNm] [cm2] [cm2] [cm2]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 K1 0.00 0.00
0.05 K1 0.00 0.57
0.60 K1 0.00 7.28
0.80 K1 0.00 9.21
1.20 K1 0.00 13.33
1.80 K1 0.00 17.10
2.40 K1 0.00 17.93
3.00 K1 0.00 15.64
3.60 K1 0.00 10.69
4.20 K1 0.00 3.92
4.80 K1 4.06 0.00
5.20 K1 12.01 0.00
5.40 K1 16.63 0.00
5.95 K1 33.46 4.17
6.00 K1 34.56 5.28
Schubbemessung der Balkenelemente
================================================================================
Name x Typ Querkraft Torsion Summe
VEd ctTheta VRd,sy VRd,max Asw TEd TRd,sy TRd,max Asb Asw
[m] [kN] [-] [kN] [kN][cm2/m] [kNm] [kNm] [kNm] [cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
U1 0.00 K1 382.48 1.95 284.72 777.56 4.49
0.05 K1 377.59 1.95 284.72 768.81 4.53
0.60 K1 323.81 2.08 284.72 697.76 4.50
0.80 K1 284.72 2.27 284.72 646.49 4.19
1.20 K1 206.55 3.00 206.55 505.80 2.40
1.80 K1 89.35 3.00 176.22 487.06 2.12
2.40 K1 27.85 3.00 174.73 482.94 2.12
3.00 K1 145.06 3.00 178.85 494.31 2.12
3.60 K1 262.26 2.43 262.26 609.33 3.66
4.20 K1 379.46 1.91 379.46 756.54 6.33
4.80 K1 496.68 1.68 496.68 809.39 9.45
5.20 K1 574.99 1.55 574.99 777.23 12.71
5.40 K1 614.15 1.51 574.99 751.62 13.72
5.95 K1 668.09 1.43 574.99 668.09 16.61
6.00 K1 672.99 1.40 574.99 672.99 16.98
]]>
Hinweis:
Die maßgebende Bemessungsstelle für VRd,sy liegt im Abstand
von d (= 0,75 m) neben dem Aufagerrand. In XPLA wird sie vereinfachend
im Abstand h (= 0,80 m) neben der Auflagerachse angenommen, da in XPLA
derzeit keine Auflagerlängen impliziert sind.
Daher wird hier zwischen 0,00 und 0,80 konstant für VEd bei 0,80
bemessen. Die Bewehrungsmenge ändert sich dennoch wegen eines veränderlichen
Hebelarms aus der Biegebemessung und eines veränderlichen Winkels Θ.
Ebenso wird zwischen 5,20 und 6,00 konstant für VEd bei 5,20
bemessen.
Nachrechnung bei x = 4,80 :
fck = 20 MN/m² (C20/25)
fcd = 0,85 * 20 / 1,5 = 11,33 MN/m² (C20/25)
fyd = 500 / 1,15 = 435 MN/m² (BSt500)
βct = 2,4 (Rauigkeitsbeiwert)
η1 = 1,0 (Normalbeton)
αc = 0,75 (Normalbeton)
b/h/d = 300 / 800 / 750mm (Balken)
Hebelarm z :
M = 133,59 kNm
As = 4,06 cm² (aus der Biegebemessung)
z = M / As * ftd = 133,59 / (4,06*525/1,15) * 10 = 0,721 m
VEd = 496,68 kN
Asw = 9,45 cm²
VRd,c = 2,4 * 0,10 * 1,0 * 201/3 * 300 * 721 / 1000 = 140,91 kN
cot Θ = 1,2 / (1 - 140,91/496,68) = 1,675
tan Θ = tan (acot 1,675) = 0,597
VRd,sy = 9,45 * 435 * 721 * 1,675 / 10000 = 496 kN
VRd,max = (300 * 721 * 0,75 * 11,33) / (1,675 + 0,597) / 1000 = 809 kN