Sonderfall der zweichachsig gespannten Platte
Die zweiachsig gespannte Platte stellt einen Sonderfall der Querkraftbemesung dar.
Eine Platte wird durch Schnittgrößen mx, my, mxy
und Querkräfte vx, vy beansprucht. Aus der Biegebemessung
resultieren Bewehrungen Asx und Asy, unten und oben.
Unsere Programme gehen nach dem folgenden Schema vor:
Maßgebende Bemessungsquerkraft
VEd = √(VEdx ² + VEdy ²)
Winkel zur x-Achse:
sin α = VEdy / VEd
Aus der Längsbewehrung aus der Biegebemessung (oder ggf. einer höheren gewählten Grundbewehrung)
wird eine wirksame Bewehrung As' ermittelt, mit der die Querkrafttragfähigkeit VRd,ct
berechnet werden kann:
Asx,u' = Asx,u * cos α
Asy,u' = Asy,u * sin α
As,u' = √(Asx,u' ² + Asy,u' ²)
As,o' analog.
Ob As,u' oder As,o' in die Berechnung von VRd,ct eingeht,
hängt vom den Richtung von VEd ab: Ist diese Richtung näher zur x-Achse, also ist
VEdx dem Betrag nach größer als VEdy, so wird das Vorzeichen des
Momentes Mx maßgebend, anderenfalls das Vorzeichen von My;
bei positivem Moment (unten Zug) geht die untere Bewehrung ein, anderenfalls
die obere Bewehrung.
Der weitere Rechengang ist zunächst wie in der einachsigen Beanspruchung.
Ist VRd,ct < VEd, ist der Nachweis der Tragfähigkeit erbracht.
Andernfalls wird die erforderliche Querkraftbewehrung für VEd ermittelt.
Oder die Längswehrung wird erhöht, wenn der Anwender dies wünscht, und zwar wie folgt:
GesAs' ist die erhöhte Bewehrung, für VRd,ct = VEd .
Mit diesem Wert werden die erforderlichen Zulagen berechnet:
ZulAsx = (GesAs' * cos α) - Asx
ZulAsy = (GesAs' * sin α) - Asy
.
Beispiel:
Auszug aus einem Textausdruck (Programm XPLA):
<![CDATA[
Material nach DIN 1045-1 (01)
================================================================================
Name: M1 C20/25 / BSt500S(A)
Elastizitätsmodul E 28800.000 [N/mm2]
Querdehnzahl mue 0.167 [-]
spez. Gewicht gamma 25.000 [kN/m3]
Temperaturausdehnungskoeffizient AlphaT 1.000e-005 [1/°]
Bewehrungsdefinitionen
================================================================================
Name: BA1 Grundbewehrung Zulagebewehrung
h'[cm] as[cm2/m] h'[cm]
oben X 0.0 0.00 4.0
oben Y 0.0 0.00 4.0
unten X 0.0 0.00 4.0
unten Y 0.0 0.00 4.0
Verdrehung beider Bewehrungsrichtungen gegenüber
dem globalen Koordinatensystem Delta[°] 0.00
Scherwinkel der Bewehrungsrichtungen
untereinander Phi [°] 90.00
Die Feldbewehrung ist nicht gestaffelt.
Neigung der Druckstreben :autom.
Neigung der Schubbewehrung :90.00
Die Längsbewehrung wird erhöht, um Schubbewehrung einzusparen.
Maximales Längsbewehrungsverhältnis : 2.00 %.
Plattenpolygone
================================================================================
Name X Y Dicke Mat Bew.Def.
[m] [m] [cm]
--------------------------------------------------------------------------------
P1 -10.000 6.000 18.00 M1 BA1
P1 5.000 6.000 18.00 M1 BA1
P1 5.000 -5.000 18.00 M1 BA1
P1 -10.000 -5.000 18.00 M1 BA1
Lastfallkombinationen
Name Kombination
================================================================================
1 L1
ERGEBNISSE
==========
Plattenschnittgrößen für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber. x y Lf/k mx my mxy m1 m2 alpha qx qy
[m] [m] [kNm/m] [kNm/m] [kNm/m] [kNm/m] [kNm/m] [°] [kN/m] [kN/m]
--------------------------------------------------------------------------------
AB1 -0.50 0.00 L1 -1.65 -74.47 0.90 -1.64 -74.49 0.70 -219.65 3.00
AB1 -0.50 0.50 L1 -30.09 -55.34 -11.59 -25.58 -59.85 -21.28 -27.11 24.52
AB1 -0.50 1.00 L1 -22.26 -13.26 -6.07 -10.20 -25.31 -63.26 -14.54 64.39
AB1 -0.50 1.50 L1 -12.21 11.47 0.06 11.47 -12.21 89.84 -1.80 50.66
Biegebemessung der Plattenelemente
================================================================================
Es wird das Maximum aus Zug- und Druckbewehrung ausgegeben. Die Stellen,
an denen Druckbewehrung erforderlich ist, sind mit einem * versehen.
Es werden nur die Ergebnisse der Zulagebewehrung ausgegeben.
Bemessungsmomente und erf.As oben abz.Grundbew.für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber. x y Lf/k MxBem hx Asx MyBem hy Asy
[m] [m] [kNm/m] [cm][cm2/m] [kNm/m] [cm][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
AB1 -0.50 0.00 K1 -2.55 14.00 0.40 -75.37 14.00 15.95
AB1 -0.50 0.50 K1 -41.68 14.00 7.55 -66.93 14.00 13.54
AB1 -0.50 1.00 K1 -28.33 14.00 4.85 -19.33 14.00 3.17+
AB1 -0.50 1.50 K1 -12.28 14.00 1.98 0.00 14.00 0.00
Bemessungsmomente und erf.As unten abz.Grundbew.für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber. x y Lf/k MxBem hx Asx MyBem hy Asy
[m] [m] [kNm/m] [cm][cm2/m] [kNm/m] [cm][cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
AB1 -0.50 0.00 K1 0.00 14.00 0.00 0.00 14.00 0.00
AB1 -0.50 0.50 K1 0.00 14.00 0.00 0.00 14.00 0.00
AB1 -0.50 1.00 K1 0.00 14.00 0.00 0.00 14.00 0.00
AB1 -0.50 1.50 K1 0.00 14.00 0.00 11.53 14.00 1.86+
Schubbemessung der Plattenelemente für Ausgabebereich : AB1
================================================================================
Ber. x y Lf/k VEd VEdx VEdy Alpha VRd,ct VRd,sy VRd,max Asw zulAsx zulAsy
[m] [m] [kN/m] [kN/m] [kN/m] [°] [kN/m] [kN/m] [kN/m][cm2/m2] [cm2/m] [cm2/m]
--------------------------------------------------------------------------------
AB1 -0.50 0.00 K1 219.67 -219.65 3.00 0.78 24.31 219.67 468.63 17.59
AB1 -0.50 0.50 K1 36.55 -27.11 24.52 42.13 69.42 0.00 343.90 0.00
AB1 -0.50 1.00 K1 66.01 -14.54 64.39 77.27 66.01 0.00 348.94 0.00 0.00 5.77o
AB1 -0.50 1.50 K1 50.69 -1.80 50.66 87.97 50.70 0.00 346.17 0.00 0.15 2.29u
]]>
Nachrechnung bei x=-0,50 y=1.00 :
fck = 20 MN/m² (C20/25)
fyd = 500 / 1,15 = 435 MN/m² (BSt500)
h/d = 180 / 140mm (Platte)
|VEdx| = 14,54 kN/m
|VEdy| = 64,39 kN/m > |VEdx|
-> Vorzeichen von My wird maßgebend
My = -13,26 kNm/m < 0
-> As,o maßgebend zur Berechnung von VRd,ct
VEd = √(14,54 ² + 64,39 ²) = 66,01 kN/m
α = arcsin (64,39 / 66,01) = 77,3°
aus der Biegebemessung:
Asx,o = 4,85 cm²/m
Asy,o = 3,17 cm²/m
wirksame Biegebewehrung:
Asx,o' = 4,85 * cos 77,3° = 1,07 cm²/m
Asy,o' = 3,17 * sin 77,3° = 3,09 cm²/m
As,o' = √(1,07 ² + 3,09 ²) = 3,27 cm²/m
ρ1 = 3,27 / (100 * 14) = 0,00234
VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00234 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 46,84 kN/m < VEd = 66,01 kN/m
Längsbewehrung wird erhöht auf GesAs' = 9,17 cm²/m :
ρ1 = 9,17 / (100 * 14) = 0,00655
VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00655 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 66,01 kN/m = VEd !
Zulagen oben:
ZulAsx = 9,17 * cos 77,3° - 4,85 -> 0
ZulAsy = 9,17 * sin 77,3° - 3,17 = 5,77 cm²/m
Nachrechnung bei x=-0,50 y=0,50 :
|VEdx| = 27,11 kN/m
|VEdy| = 24,52 kN/m < |VEdx|
-> Vorzeichen von Mx wird maßgebend
Mx = -30,09 kNm/m < 0
-> As,o maßgebend zur Berechnung von VRd,ct
VEd = 36,55 kN/m
α = 42,1°
aus der Biegebemessung:
Asx,o = 7,55 cm²/m
Asy,o = 13,54 cm²/m
wirksame Biegebewehrung:
Asx,o' = 7,55 * cos 42,1° = 5,60 cm²/m
Asy,o' = 13,54 * sin 42,1° = 9,08 cm²/m
As,o' = √(5,60 ² + 9,08 ²) = 10,67 cm²/m
ρ1 = 10,67 / (100 * 14) = 0,00762
VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,00762 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 69,42 kN/m > VEd = 36,55 kN/m
Längsbewehrung ausreichend.
Nachrechnung bei x=-0,50 y=0.00 :
VEd = 219,67 kN/m
erf. Längsbewehrungsgrad wäre:
ρ1 = 0,2414 :
VRd,ct = [ 0,10 * 2,0 * 1,0 * ( 100 * 0,2414 * 20 )1/3] * 1000 * 140 / 1000 = 219,67 kN/m = VEd !
ρ1 = 0,2441 >> zul ρ1 = 0,02 = 2,0 %
-> Querkraftbewehrung erforderlich, Längsbewehrung wird nicht erhöht.