Hybride Arbeitsprinzipien
In der Baupraxis werden einfache, aber sehr leistungsfähige finite Elemente gefordert.
Sie sollen für jeden Elementtyp lediglich die für die Elementform erforderliche Anzahl
von Eckknoten besitzen. In diesen sollen als Freiheitsgrade nur Verschiebungen und/oder
Verdrehungen auftreten.
Neben den Forderungen hinsichtlich der exakten Darstellungen
starrer Bewegungsmöglichkeiten und konstanter Dehnungszustände müssen statische
Verträglichkeit im Elementinneren (Erfüllung des Gleichgewichts) und kinematische
Verträglichkeit an den Elementrändern (keine Risse und keine Überlappungen zwischen
angrenzenden Elementen) gesichert sein.
Es ist nicht möglich, ein finites Elemente auf
Grund der Kraft- oder Verschiebungsmethode zu entwerfen, das die genannten Forderungen
erfüllt. Einen Ausweg aus dieser misslichen Situation liefert die sogenannte hybride
Methode.
In ihr werden Kraft- und Verschiebungsmethode zu einem kombinierten, hybriden
Arbeitsprinzip verschmolzen. Nach diesem Arbeitsprinzip werden unsere finiten Elemente
als hybride Spannungselemente entwickelt. Sie sind sehr leistungsfähig und erfüllen
selbstverständlich obige Forderungen. Die theoretischen Grundlagen werden im Folgenden
zusammengestellt.
Bei linear elastischem Materialverhalten gelten die auf Scheiben- und Plattenelemente
zugeschnittenen Arbeitsprinzipien:
Hierin bedeuten:
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Vektor der inneren Schnittkräfte nach (3) bzw. (5) |
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Vektor der Randschnittkräfte nach (7) bzw. (9) |
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Vektor der Randverrückung nach (8) und (10) |
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Vektor der Linienlasten auf den Randkanten |
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Vektor der Anfangsdehnung infolge Temperaturänderung |
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inverse Elastizitätsmatrix, G: Gleitmodul |
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Kirchhoffsche Plattenelemente |
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Mindlin-Reissnersche Plattenelemente |
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d: Elementdicke, A: Fläche, s: Randweg,  :Randweg mit Lasten |
Die hybriden Arbeitsprinzipien (11) und (12) enthalten neben den Schnittkräften im
Element nur die Verrückungen am Elementrand. Die Randverrückungen
bzw.
sowie die inneren Schnittkräfte
n bei Scheiben bzw.
m und
q bei Platten müssen über
Ansatzfunktionen dem entsprechenden Problem angepasst werden. Sowohl die inneren Schnittkräfte
als auch die Verrückungen auf den Randkanten müssen festen Voraussetzungen genügen. Ein Ansatz
für die inneren Schnittkräfte muss die Gleichgewichtsbedingungen (4) bzw. (6) erfüllen, und ein
Verrückungsansatz entlang der Randkanten muss die Stetigkeitsbedingungen zwischen angrenzenden
Elementen gewährleisten.
Für die inneren Schnittkräfte wird der Ansatz
gewählt. Die Vektoren
bzw.
und
sind partikuläre Lösungen der
inhomogenen Gleichgewichtsbedingungen in (4) bzw. (6) und beachten die aufgebrachten
Flächenlasten
bzw.
und
. Die Felder
und
enthalten vollständige Polynome in den x-, y-Koordinaten mit den Freiwerten (Koeffizienten)
bzw.
Die Terme
bzw.
müssen
die homogenen Gleichgewichtsbedingungen in (4) bzw. (6) erfüllen. Das in (13) genannte Feld
wird aus dem
Feld M nach (5b) abgeleitet. Aus den inneren Schnittkräften lassen sich unter Beachtung der Orientierungen der Randkanten
(Bild 5 bzw. 6) die Randschnittkräfte
bzw.
berechnen. Diese können auf die Form
gebracht werden. Die auf den Randkanten vorliegenden, unterschiedlichen
Verformungszustände werden durch Polynome ersten, zweiten und dritten Grades
in der Randkoordinate s beschrieben. Die auftretenden Freiwerte werden mit Hilfe
von Transformations- und Inzidenzmatrizen mit den globalen Knotenverrückungen in (1)
bzw. (2) gekoppelt. Die Verläufe der lokalen Randverrückungen lassen sich in der
Kurform darstellen:
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(15) |
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darstellen.
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Man definiert als Flexibilitätsmatrix
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als Koppelmatrix
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und als Belastungsvektoren
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und erhält damit aus (11) bzw. (12) die komprimierte Aussage:
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Aus diesen Gleichungen folgt
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sowie
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Mit der Elementsteifigkeitsmatrix
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und dem Vektor aus Linien-, Flächen- und Temperaturbelastungen
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kommt man zum Kraft-Verschiebungsgesetz
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auf Elementebene.
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Bei den Ansätzen der Polynome für die Verrückungen und die Schnittkräfte ist einige
Sorgfalt angebracht. Die im Gleichgewicht stehenden Randkräfte leisten bei
 starren
Bewegungsmöglichkeiten keine Arbeit. Deshalb muss der Rangabfall in der
Elementsteifigkeitsmatrix  bzw.
 genau
betragen. In den Ansätzen für die
Schnittkräfte und die Verrückungen mit  bzw.
 Freiheitsgraden muss die notwendige
Bedingung
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sichergestellt sein, damit kein weiterer Rangabfall in der Elementsteifigkeitsmatrix
auftritt. Sowohl die Scheiben- als auch die Plattenelemente besitzen
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starre Bewegungsmöglichkeiten (Scheibe gemäß Bild 1: zwei Translationen in
x- und y-Richtung und eine Rotation um die z-Achse; Platte gemäß Bild 2:
zwei Rotationen um x- und y-Achse und eine Translation in z-Richtung).
Da die für 4-Knotenelemente gültigen Ansatzfunktionen auch bei 3-Knotenelementen
erlaubt sind (Eine Umkehrung dieses Satzes ist nicht zulässig.), werden in den
weiteren Erläuterungen lediglich 4-Knotenelemente behandelt. Da diese
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Freiheitsgrade hinsichtlich ihrer Verrückungen haben, muss für die Anzahl der
Freiheitsgrade in den gewählten Ansätzen für die inneren Schnittkräfte
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gelten. Diese Forderung wird mit einem quadratischen Polynomansatz erfüllt.
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Für die homogenen Anteile von  ,
und  werden jeweils vollständige
quadratische Polynome nach Bild 7 angesetzt. Jeder Funktionswert wird mit einem
Freiwert multipliziert. Somit enthalten diese Ansätze zunächst jeweils
18 Freiheitsgrade. Die Erfüllung der homogenen Gleichgewichtsbedingungen
(4) bzw. (6) führt zu sechs linearen Abhängigkeiten bei der Scheibe und zu einer
linearen Abhängigkeit bei der Platte. Daher besitzen Scheiben- bzw. Plattenelemente
die folgende Anzahl an Freiheitsgraden in den Schnittkräften:
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Bild 7:
Schema der Polynomterme eines vollständigen quadratischen Polynoms
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Die auf diese Weise gewonnen Ansatzfunktionen werden in die Felder
bzw.
in (13)
eingeordnet. Die zugehörigen Freiwerte werden in den Vektoren
(mit 12 Komponenten) bzw.
(mit 17 Komponenten) zusammengefasst.
(Anmerkung: Bei Scheiben- und Plattenelementen mit drei Eckknoten reicht ein linearer Polynomansatz aus. Bei Plattenelementen
mit vier Eckknoten genügt ein bilinearer Ansatz.)
Beim Scheibenelement (Bild 5) werden die Verschiebungen
entlang einer Randkante mit einem linearen Ansatz mit zwei Freiwerten und die Verschiebungen
senkrecht zur
Randkante mit einem kubischen Polynom mit vier Freiwerten formuliert.
Die sechs auftretenden Freiwerte sind die sechs lokalen Verrückungsfreiheitsgrade des Anfang- und Endknotens der Kante.
Am Rand i-j werden sie mit
bezeichnet. Da es sich um lokale Größen handelt, werden sie zunächst in globale Knotenverrückungen
des x-,y-,z-Koordinatensystems gedreht. Diese werden anschließend über
Inzidenzvorschriften mit dem globalen Vektor der Knotenverrückungen (1) gekoppelt.
In gleicher Weise wird auf den weiteren Randkanten vorgegangen. Nach diesen
Beschreibungen findet man das Feld
,
das die lokalen Verläufe der Randverrückungen mit dem globalen Vektor der Knotenverrückungen (1) verknüpft:
(15).
In ähnlicher Weise wird beim Plattenelement vorgegangen. Bevor auf geeignete Ansätze für die Verrückungen auf den Randkanten
eingegangen werden kann, sei daran erinnert, dass Plattenelemente Querschübe übertragen. Diese zeigen nach der Kirchhoffschen
Plattentheorie keinerlei Verformungen. Die Platte verhält sich querschubstarr. Ein Scherwinkel kann sich nicht einstellen. Deshalb
muss auf jeder Randkante (z.B. Randkante i-j in Bild 6) gelten:
Diese Bedingung verknüpft die Durchbiegung w mit der Verdrehung ψ, gemäß
.
In der Mindlin-Reissnerschen Plattentheorie wird berücksichtigt, dass sich infolge Querschubübertragungen korrespondierende
Verformungen einstellen. Der Scherwinkel auf den Randkanten verschwindet nicht, er muss die Bedingung
erfüllen. Es ist nicht leicht, Ansätze für w und ψ zu finden, die der angegebenen Bedingung genügen. Im Sinne der
FE-Methode, dass diese mit immer feinerer Elementierung zu immer besseren Ergebnissen strebt, reicht es aus, für den Scherwinkel
einen konstanten Verlauf über eine Randkante anzunehmen. Für die Verläufe der Durchbiegung w und der Verdrehung ψ stehen
auf jeder Randkante i-j der Länge
die vier
Knotenverrückungen
und
als Stützwerte zur Verfügung,
mit denen obige Bedingung diskretisiert wird:
Die Ansatzfunktionen für die Verrückungen w und ψ müssen zulässig sein, d.h. die müssen die Bedingungen (*) und (**) befriedigen.
Nach Bild 6 werden die auf einer Randkante i-j gewählten Verrückungen erklärt. Die Koordinate s wird auf die Kantenlänge
bezogen und durch
ersetzt. Der Verlauf der Verdrehung φ
wird ausgedrückt in dem linearen Ansatz:
Folgende Ansätze für die Verläufe der Verdrehung ψ und der Durchbiegung w werden gewählt bei der Plattentheorie nach Kirchhoff
und bei der Plattentheorie nach Mindlin-Reissner
Es lässt sich leicht nachvollziehen, dass die Forderungen in (*) und (**) berücksichtigt sind.
Die am jeweiligen Rand benutzten Knotenverrückungen
sind lokal zu verstehen und müssen gedreht und in den globalen Verrückungsvektor einsortiert werden. Dieses Vorgehen führt
schließlich zum Feld
das die besagten lokalen Verläufe der
Randverrückungen mit dem globalen Vektor der Knotenverrückungen (2) verbindet:
Nach diesem hier aufgezeigten FEM-Konzept wurden unsere leistungsfähigen hybriden Spannungselemente für die Baupraxis entwickelt.
